การแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ บางครั้งจะต้องแก้หาค่า x จากสมการ f(x)=0 ถ้าหากเป็นfunction กำลังสองทั่วไปอาจใช้ สูตรมาแก้สมการได้ แต่ถ้าเป็นfunctionที่มีกำลังสูงขึ้นจะไม่มีสูตรที่แน่นอน จึงมีวิธีการทางการวิเคราะห์เชิงตัวเลข(Numerical Analysis) มาแก้ปัญหาสำหรับเทคนิคที่นิยมใช้กันจะเป็นวิธีของนิวตัน หรือ Newton – Raphson Method ซึ่งจะใช้เส้นสัมผัสเส้นโค้ง y=f(x) ที่จุด f เข้าใกล้ศูนย์มาช่วยประมาณค่า
สมการของเส้นสัมผัสของกราฟ y=f(x) ที่จุด x=a หรือเส้นสัมผัสที่ผ่านจุด(a,f(a)) จะมีสมการเป็น
L(x) = f(a) – f‘(a) (x-a)
จากภาพ เป็นfunction y = x^2
และเส้นสัมผัสของ f(x) ที่จุด x=5
ขั้นตอนของ Newton – Raphson
การประมาณค่ารากของ function จากสมการ f(x) = 0 จะทำโดยอาศัยเส้นสัมผัส เส้นโค้ง y = f(x) ถ้าหากเริ่มต้นประมาณค่า x ด้วย x0 ให้ลากเส้นสัมผัสที่จุด (x0,f(x0)) เส้นสัมผัสจะตัดแกน x1 ซึ่ง x1 นี้จะมีค่าใกล้เคียงกับรากของสมการด้วย เรามาดูตัวอย่างในรูปกันคับ
จากนั้นให้ใช้ x1 ประมาณค่าต่อไปโดยลากเส้นสัมผัสที่จุด (x1,f(x1)) ทำให้เส้นสัมผัสมาตัดแกน x ที่จุด x2 และใช้ x2 นี้ประมาณค่าต่อไปอีก ซึ่งจะทำให้ค่า x ที่ได้ใกล้เคียงคำตอบมากขึ้นเรื่อยๆ ดังนั้นถ้าทำขั้นตอนเหล่านี้ n+1 ครั้ง จะได้ค่าประมาณเป็น x ที่ n+1 ซึ่งเกิดจากการประมาณค่าจากจุด x ที่ n โดยสมการเส้นสัมผัสที่จุด (xn,f(xn)) คือ
y – f(xn) = f’(xn) (x-xn)
เนื่องจากเส้นสัมผัสที่ตัดแกน x นั้นค่า y จะเท่ากับศูนย์อย่างในรูป ดังนั้น
0 – f(xn) = f’(xn) (x-xn)
- f(xn) = f‘(xn) (x-xn)
- f(xn) = f’(xn) * x – f’(xn) * xn
f(xn) * x = f’(xn) * xn – f(xn)
x = xn – f(xn) / f’(xn)
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น